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对单位圆的解读【师者智慧24】

楼主:龙新数学 时间:2021-10-14 15:21:53

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1. 单位圆的定义:在平面直角坐标系中建立以坐标原点为圆心、以一个单位长度为半径的圆,称之为单位圆.所以单位元应该是有着确定位置确定大小的圆,不是随便意义上的圆.

2.三角函数的定义:把一个角放到平面直角坐标系中,角的摆放是有规则的,角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边与单位圆相交,交点及其坐标为P(x,y),这里点P的坐标是由角确定的,终边相同的角点P的坐标相同,终边不相同的角点P的坐标也不相同,我们定义y是已知角的正弦,x是已知角的余弦,当x0时,比值y/x是已知角的正切.

3. 三角函数诱导公式:通过上述定义,可以清楚地知道终边相同的角同名三角函数值相等,即诱导公式一,终边关于原点对称的角正切值相同,其他同名三角函数值相反,即诱导公式二,终边关于x轴对称的角余弦值相同,其他同名三角函数值相反,即诱导公式三,终边关于y轴对称的角正弦值相同,其他同名三角函数值相反,即诱导公式四.

4. 三角函数的周期性:通过三角函数的定义过程,不难看出三角函数具有周期性的性质.

5. 三角函数推广定义:把一个角放到平面直角坐标系中,角的摆放要求是确定的,即角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,在角的终边任取一个异于原点的点P(x,y),计算它到原点的距离r,定义比值y/rx/r分别为这个角的正弦、余弦,当x0时,比值y/x是这个角的正切.这个定义的获得与上述三角函数的定义密切相关,实际上就是利用上述定义结合初中学过的三角形相似比的知识得到的.

6.三角函数线:把一个角放到平面直角坐标系中,角的顶点在坐标原点,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边与单位圆相交,交点为P,自Px轴的垂线,垂足为M, 那么有向线段MPOM为角的正弦线、余弦线,当角P的终边不与y轴重合时,过A1,0)引x轴的垂线,与角的终边或终边的反向延长线相较于点T,那么有向线段AT为角的正切线.三角函数线是三角函数定义的直观表示,这为后面学习三角函数图像打下了基础.

7.三角函数图像:等分单位圆,例如12份,作出各个角对应的正弦线,把它们平移到x轴上对应的弧度数处,用平滑的曲线连接平移后的正弦线的末端,得到一个周期上的正弦函数的图像.利用周期性,将一个周期上的图像向左、向右平移周期的整数倍,得到定义域为R的正弦函数的图像,即正弦曲线.有了正弦曲线不难得到余弦曲线、正切曲线.

      在三角函数的学习中,我们发现,单位圆是一个很有用的工具,很多概念是通过单位圆定义给出的,很多结论是通过单位圆推出的,它象一只无形的手,将三角函数知识串联起来,形成系统的知识网络.教学中,我们要重视单位圆的教学,发挥它的功效,帮助学生学好三角函数.

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