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【丁丁高中生】什么时候导数大于零?什么时候导数大于等于零?

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高二春季课程

数学+英语+物理+化学+vip

周六上午8:00-10:00英语

                          10:00-12:00数学(文科)

周日上午8:00-10:00化学

              10:00-12:00物理

                   下午2:00-3:30数学(理科)

            3:40:-5:10英语

韩老师:15513121165 欢迎试听(免费)

这个问题问的人很多,源自教科书上是这样描述的:


在某区间(a,b)内,如果    ,那么函数    在这个区间内单调递增

----摘自高中数材人教版选修2-2

但是在实际的做题过程中,我们经常会遇到例外,最简单的如递增函数 ,其  :

 那么是教科书上错了吗?

没错,但  只是递增的充分条件,即  递增,递增不能

下面是函数的递增的充要条件:


可导的初等函数f(x),若在某区间(a,b)内,    ,且    不能形成区间    在此区间内单调递增。

----函数递增的充要条件


什么叫  不能形成区间,这里我给出一个直观的解释,请观察下面分段函数的图像:

 

对于递增的充要条件,有一个常见错误,认为  ,并且  的点个数有限  在此区间内单调递增。

很容易给出一个反例,请观察  的图像:

  

可以看出,  在实数范围内有无限个  的点。

那么解题的时候怎么使用呢?

高中范围内,可以直接使用  ,只有遇到分段函数才需要分段考察。

说到这里可能还是觉得有点不放心,对于很多我们难以作图的函数(比如2015年北京理科18题,  )而言:

  

这里我做一个简单的说明,  形成区间,其代数意义是,  这个方程有根并且根是连续的,对于形如  这样的多项式而言,根的个数最多为  个,不可能连续,而对于  这样周期函数而言,根的一般形式是  ,也是离散的点,不会形成区间。

重要的问题说三遍,考试的时候要使用  (分段函数除外)!考试的时候要使用  (分段函数除外)!考试的时候要使用  (分段函数除外)!

来看一道习题,就知道使用  的重要性了。


已知    在R上不是单调增函数,则b的范围为?
----导数与函数的单调性练习题

使用  。

使用  ,而这个才是正确答案

所以,重要的问题说三遍,考试的时候要使用  (分段函数除外)!考试的时候要使用  (分段函数除外)!考试的时候要使用 (分段函数除外)!

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